Lineare Algebra Beispiele

$\frac{2 \sqrt{3 + \sqrt{6}}}{4 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3 + \sqrt{6}}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3 + \sqrt{6}})}{4 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{3 - \sqrt{6}}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3 + \sqrt{6}})}{2 (2 \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 (2 \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ mit $\frac{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}} \cdot \frac{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ mit $\frac{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Schritt 3.2

Bewege $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 (\sqrt{3 - \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 ({\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1} \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Schritt 3.4

Potenziere $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 ({\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1} {\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1})}$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{2}}$

Schritt 3.7

Schreibe ${\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{2}$ als $3 - \sqrt{6}$ um.

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Schritt 3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ als ${(3 - \sqrt{6})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {({(3 - \sqrt{6})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{1}}$

Schritt 3.7.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(3 + \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.2

Multipliziere $(3 + \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3 (3 - \sqrt{6}) + \sqrt{6} (3 - \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (3 - \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3 (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

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Schritt 4.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{1 + 1}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 4.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{1}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 1 \cdot 6}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $6$ von $9$ .

$\frac{\sqrt{3 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 3 \sqrt{6}$ und $3 \sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{3 + 0}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 4.3.4

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})}$ mit $\frac{3 + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})} \cdot \frac{3 + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})}$ mit $\frac{3 + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 (3 - \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6})}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1

Bewege $3 - \sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 ((3 - \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6}))}$

Schritt 6.2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 (9 + 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{2})}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{6}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{6}}{6}$

Schritt 6.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{6}}{6}$

Schritt 6.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 6}}{6}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{18}}{6}$

Schritt 7.2

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9 (2)}}{6}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{6}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}$ und $6$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 \sqrt{2}}{6}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (\sqrt{2})}{6}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (\sqrt{3}) + 3 (\sqrt{2})$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{6}$

Schritt 8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 (2)}$

Schritt 8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 \cdot 2}$

Schritt 8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$1.57313218 \dots$